Zustands- und Parameterschätzung

Parameterschätzmethoden zählen eher zu den Methoden der höheren Regelungstechnik und sind oftmals in gängigen Industrieanwendungen nicht implementiert. Dennoch können sie sich einerseits zur Reglerparameteroptimierung lohnen oder andererseits zur Beobachtung, also dem Condition Monitoring, definierter Parameter herangezogen werden, um diese als Indikator für eine gewisse Veränderung im System anzusehen und gegebenfalls geeignete Gegenmaßnahmen einzuleiten. Eine gängige und weit verbreitete Möglichkeit, gleichzeitig sowohl Zustände als auch Systemparameter zu schätzen, stellt das sogenannte Unscented Kalman Filter (UKF) dar. Das UKF ist eine Erweiterung des klassischen Kalmanfilters und wird oftmals für die Zustandsbeobachtung nichtlinearer Systeme verwendet. Somit lässt sich selbiges auch für die Schätzung einer begrenzten Anzahl unbekannter Parameter nutzen. Der entscheidende Unterschied zum Extended Kalman Filter ist die Linearisierung des Systems nicht über eine Jacobi-Matrix, sondern über eine sogenannte Sigma-Punkt-Linearisierung. Vorteilhaft ist die Verwendung eines Kalmanfilters auch bei stark verrauschten Messwerten, bei welchen anderweitige Verfahren oftmals versagen.

Als anschauliches Beispiel soll die Schätzung dreier unbekannter Parameter b, k und c sowie eines unbekannten Systemzustandes x2 des Systems

mithilfe des UKF durchgeführt werden. Abbildung 1 stellt die beiden Zustandsdynamiken, hierbei ist der erste Zustand der gemessene und von daher stark verrauscht, als Resultat einer sprungförmigen Anregung dar. Es ist schön das Einschwingverhalten des zweiten geschätzten Zustandes zu erkennen. Innerhalb von 10s ist dieser jedoch ideal geschätzt. Ebenso nach einer sprungförmigen Änderung des Parameters b pendelt sich der geschätzte Zustand innerhalb von 5 s wieder auf seinen richtigen Verlauf ein.

Aufgrund der für dieses System vielen unbekannten Parameter benötigt die Schätzung selbiger länger als die Schätzung der Zustände. Dennoch sind innerhalb einer Zeitspanne von 20 s alle Parameter richtig geschätzt. Auch eine Änderung des Parameters b wird innerhalb von 10 s korrigiert und der neue Parameter korrekt geschätzt (siehe Abbildung 2).

Alle Gleichungen zur Herleitung des UKF sowie weitere Möglichkeiten zur Ableitung modellbasierter Parameterschätzmethoden finden sich im ausführlichen Bericht zu Parameterschätzung.