restart;Darstellung von Kurven<Text-field layout="_pstyle4" style="_cstyle4">Aufgabe 1</Text-field>Die Ellipse x^2/9 + y^2/4 =1 wird gezeichnet (implizite Darstellung)with(plots): implicitplot(x^2/9+y^2/4=1, x=-4..4,y=-3..3, scaling=constrained);Die Ellipse x(t) = 3*cos(t), y(t)=2*sin(t) wird gezeichnet (Parameterform)plot([3*cos(t),2*sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained);<Text-field layout="_pstyle6" style="_cstyle6">Aufgabe 2</Text-field>Die Kurve r(phi)=Phi (Archimedische Spirale, Polarform) wird gezeichnetpolarplot(phi,phi=0..4*Pi, scaling=constrained);Die Kurve r(phi)=exp(Phi) (Logarithmische Spirale, Polarform) wird gezeichnetpolarplot(exp(phi),phi=0..4*Pi,scaling=constrained);Die Logarithmische Spirale ist schwer zu zeichnen, da r sehr schnell sehr gro\337 wird (Exponentialfunktion)Steigung von Kurven<Text-field layout="_pstyle9" style="_cstyle9">Aufgabe 1, Teil a) und b)</Text-field>Die Epizykloide wird in Parameterdarstellung eingegebenxt:=5*cos(t)-cos(5*t); yt:=5*sin(t)-sin(5*t);Die Kurve wird gezeichnetwith(plots):plot([5*cos(t)-cos(5*t),5*sin(t)-sin(5*t),t=0..2*Pi],scaling=constrained);Die Ableitungen werden berechnetxpunkt:=diff(xt,t); ypunkt:=diff(yt,t);Die Steigung f\374r t=pi/4 wird berechnetsteigungpiviertel:=subs(t=Pi/4,ypunkt)/subs(t=Pi/4,xpunkt);evalf(steigungpiviertel);Koordinaten (x0,y0) des Punktes auf der Epizykloiden f\374r t=pi/4 berechnenx0:=subs(t=Pi/4,xt); y0:= subs(t=Pi/4,yt);evalf(x0); evalf(y0);Tangentengleichung fr t=pi/4 bestimmeny=steigungpiviertel*(x-x0)+y0;<Text-field layout="_pstyle10" style="_cstyle10">Aufgabe 1, Teil c)</Text-field>Die Epizykloide wird in Parameterdarstellung eingegebenxt:=5*cos(t)-cos(5*t); yt:=5*sin(t)-sin(5*t);Die Ableitungen werden berechnetxpunkt:=diff(xt,t); ypunkt:=diff(yt,t);Horizontale Tangenten sind gesucht, also ypunkt=0solve(ypunkt=0,t);t=0 wird untersuchtxpunkt0:=subs(t=0,xpunkt);limit(ypunkt/xpunkt,t=0);t=pi/3 wird untersuchtxpunktpidrittel:=subs(t=Pi/3,xpunkt); evalf(%);t=pi/2 wird untersuchtxpunktpihalbe:=subs(t=Pi/2,xpunkt); evalf(%);limit(ypunkt/xpunkt,t=Pi/2);limit(ypunkt/xpunkt,t=Pi/2,right);limit(ypunkt/xpunkt,t=Pi/2,left);Bei t=pi/2 liegt eine einspringende Ecke (Vorzeichenwechsel bei Grenzwert) vor. Hier liegt eine vertikale Tangente vor.<Text-field layout="_pstyle11" style="_cstyle11">Aufgabe 2, Teil a)</Text-field>Die Kardioide wird definiert (a=1)xt:=(1+cos(t))*cos(t); yt:=(1+cos(t))*sin(t);Die Kurve wird gezeichnetwith(plots):plot([xt,yt,t=0..2*Pi],scaling=constrained);Die Ableitungen werden berechnetxpunkt:=diff(xt,t); ypunkt:=diff(yt,t);Die Steigung f\374r t=pi/4 wird berechnetsteigungpiviertel:=subs(t=Pi/4,ypunkt)/subs(t=Pi/4,xpunkt);evalf(%);<Text-field layout="_pstyle12" style="_cstyle12">Aufgabe 2, Teil b) und c)</Text-field>Die Kardioide wird definiert (a=1)xt:=(1+cos(t))*cos(t); yt:=(1+cos(t))*sin(t);Die Ableitungen werden gebildetxpunkt:=diff(xt,t); ypunkt:=diff(yt,t);Horizontale Tangenten sind gesucht, also ypunkt=0solve(ypunkt=0,t);Vertikale Tangenten sind gesucht, also xpunkt=0solve(xpunkt=0,t);t=0 wird untersuchtlimit(ypunkt/xpunkt,t=0);limit(ypunkt/xpunkt,t=0,right);limit(ypunkt/xpunkt,t=0,left);also: senkrechte Tangente f\374r t=0, hier einspringende Ecket=pi/3 wird untersuchtlimit(ypunkt/xpunkt,t=Pi/3); also: waagerechte Tangente f\374r t=pi/3Implizite Funktionen<Text-field layout="_pstyle19" style="_cstyle18">Aufgabe 1 a) und b)</Text-field>Die implizite Gleichung wird eingegebengleichung:=exp(y)+y+x^2-x-3;Zeichungwith(plots): implicitplot(gleichung, x=-4..4,y=-3..3, scaling=constrained);y=0 setzen und x-Werte bestimmenfsolve(subs(y=0,gleichung),x);Steigung an Kurve errechnensteigung:=-diff(gleichung,x)/diff(gleichung,y);Tangentengleichung f\374r den Punkt (-1,0)steigung1:=subs({x=-1,y=0},steigung);x0:=-1;y0:=0; y=steigung1*(x-x0)+y0;Tangentengleichung f\374r den Punkt (2,0)steigung2:=subs({x=2,y=0},steigung);x0:=2;y0:=0; y=steigung2*(x-x0)+y0;<Text-field layout="_pstyle20" style="_cstyle19">Aufgabe 2 c) und d)</Text-field>Die implizite Gleichung wird eingegebengleichung:=exp(y)+y+x^2-x-3;Die partielle Ableitung der Gleichung nach y muss ungleich 0 sein, um nach y aufl\366sen zu k\366nnendiff(gleichung,y)=0;Die partielle Ableitung der Gleichung nach y ist (im Reellen) immer ungleich 0 solve( diff(gleichung,y)=0, y);F\374r horizonale Tangenten muss gelten, dass die partielle Ableitung der Gleichung nach x gleich 0 istsolve( diff(gleichung,x)=0, x);Der zu x=1/2 geh\366rige y-Wert wird berechnetygleichung:=subs(x=1/2,gleichung);solve(ygleichung,y);evalf(%);Bogenl\344nge<Text-field layout="_pstyle22" style="_cstyle21"><Font style="_cstyle19">Aufgabe 1</Font></Text-field>Die Archimedische Spirale wird in Parameterdarstellung eingegebenxphi:=phi*cos(phi); yphi:=phi*sin(phi);Die Ableitungen nach phi werden berechnetxphipunkt:=diff(xphi,phi); yphipunkt:=diff(yphi,phi);Das Geschwindigkeitsquadrat wird ausgerechnetgeschwquad:=xphipunkt^2+yphipunkt^2; simplify(%); \334ber den Betrag des Geschwindigkeitsvektors wird integriertint(sqrt(geschwquad), phi=0..2*Pi); evalf(%);<Text-field layout="_pstyle22" style="_cstyle21"><Font style="_cstyle19">Aufgabe 2</Font></Text-field>Die Funktion wird eingegebenf:=sin(x);Die Ableitung der Funktion wird berechnetfx:=diff(f,x);\334ber sqrt(1+Ableitung^2) wird integriert, das ergibt die Bogenl\344ngeint(sqrt(1+fx^2),x=0..Pi); evalf(%);\334ber f wird integriert, das ergibt den Fl\344cheninhaltint(f,x=0..Pi);Felder, Kurvenintegrale, Wegunabh\344ngigkeit<Text-field layout="_pstyle24" style="_cstyle26">Aufgabe 1</Text-field>with(linalg):Feld wird eingegebenF:=[6*x-2*y^3, -6*x*y^2];Kurve1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x1t:= t; y1t:= t^2;Ableitung der Kurve1x1tpunkt:= diff(x1t,t); y1tpunkt:= diff(y1t,t); Der Integrand von Kurve1 wird berechnetintegrand1:= subs({x=x1t,y=y1t},F[1]) * x1tpunkt + subs({x=x1t,y=y1t},F[2]) * y1tpunkt ;Die Integration auf Kurve1 wird durchgef\374hrtint(integrand1,t=0..1);Kurve2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x2t:= t; y2t:= t;Ableitung der Kurve2x2tpunkt:= diff(x2t,t); y2tpunkt:= diff(y2t,t); Der Integrand von Kurve2 wird berechnetintegrand2:= subs({x=x2t,y=y2t},F[1]) * x2tpunkt + subs({x=x2t,y=y2t},F[2]) * y2tpunkt ;Die Integration auf Kurve2 wird durchgef\374hrtint(integrand2,t=0..1);Berechnung \374ber Potential-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Es liegt ein Potential vorpotential(F,[x,y],'Phi');Phi;PhiAnfang:=subs({x=0,y=0}, Phi); PhiEnde:=subs({x=1,y=1}, Phi);PhiEnde-PhiAnfang;<Text-field layout="_pstyle25" style="_cstyle27">Aufgabe 2, Teil a)</Text-field>with(linalg):Feld wird eingegebenF:=[2*x+y,x];Es wird getestet, ob Potential vorliegt (und falls ja, dieses Potential unter Phi gespeichert)potential(F,[x,y],'Phi');Phi;Es wird gepr\374ft, ob das gefundene Potential nach Ableiten wirklich das Feld ergibtgrad(Phi,vector([x,y]));<Text-field layout="_pstyle26" style="_cstyle28">Aufgabe 2, Teil b)</Text-field>with(linalg):Feld wird eingegebenF:=[x+y,x+y];Es wird getestet, ob Potential vorliegt (und falls ja, dieses Potential unter Phi gespeichert)potential(F,[x,y],'Phi');Phi;Es wird gepr\374ft, ob das gefundene Potential nach Ableiten wirklich das Feld ergibtgrad(Phi,vector([x,y]));<Text-field layout="_pstyle27" style="_cstyle29">Aufgabe 2, Teil c)</Text-field>with(linalg):Feld wird eingegebenF:=[-y/x^2,1/x];Es wird getestet, ob Potential vorliegt (und falls ja, dieses Potential unter Phi gespeichert)potential(F,[x,y],'Phi');Phi;Es wird gepr\374ft, ob das gefundene Potential nach Ableiten wirklich das Feld ergibtgrad(Phi,vector([x,y]));<Text-field layout="_pstyle28" style="_cstyle30">Aufgabe 3</Text-field>with(linalg):Feld wird eingegebenF:=[-y^3+2*sin(z), -3*x*y^2+3*z, 2*x*cos(z)+3*y-2*z];Es wird getestet, ob Potential vorliegt (und falls ja, dieses Potential unter Phi gespeichert)potential(F,[x,y,z],'Phi');Phi;Es wird gepr\374ft, ob das gefundene Potential nach Ableiten wirklich das Feld ergibtgrad(Phi,vector([x,y,z]));Der Wert des Potential am Anfangspunkt wird berechnetPhiAnfang:=subs({x=R,y=0,z=0}, Phi);Der Wert des Potentials am Endpunkt wird berechnetPhiEnde:=subs({x=R,y=0,z=h}, Phi);Der Wert des Kurvenintegrals ergibt sich aus Wert des Potentials am Endpunkt minus Wert des Potentials am AnfangspunktKurvenintegral:= PhiEnde - PhiAnfang; <Text-field layout="_pstyle29" style="_cstyle31">Aufgabe 4</Text-field>with(linalg):Feld wird eingegebenF:=[x, x+y, z];Es liegt kein Potential vorpotential(F,[x,y,z]);Schraubenliniext:= R*cos(t); yt:= R*sin(t); zt:= h*t/(2*Pi);Ableitung der Schraubenliniextpunkt:= diff(xt,t); ytpunkt:= diff(yt,t); ztpunkt:= diff(zt,t); Der Integrand wird berechnetintegrand:= subs({x=xt,y=yt,z=zt},F[1]) * xtpunkt + subs({x=xt,y=yt,z=zt},F[2]) * ytpunkt + subs({x=xt,y=yt,z=zt},F[3]) * ztpunkt ;Die Integration wird ausgef\374hrtint(integrand,t=0..2*Pi);