restart;Elementare Reihenbegriffe, geometrische Reihe

Die einzelnen Summanden einer Reihe werden definiert:a:=k->(-1)^(k+1)/k;

NiM+SSJhRzYiZio2I0kia0dGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiYpISIiLCY5JCIiIkYxRjFGMUYwRi5GJUYlRiU=

Maple kann Partialsummen berechnen:sum(a(k), k=1..10);

NiMjIiVGOyIlP0Q=

Maple kann sogar den Grenzwert der Reihe bestimmen:sum(a(k),k=1..infinity);

NiMtSSNsbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiMiIiM=

Analog f\374r eine zweite Reihe (harmonische Reihe):a:=k->1/k;

NiM+SSJhRzYiZio2I0kia0dGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCEiIkYlRiVGJQ==

Die Summe der ersten Million Summanden ergibt nur einen Wert kleiner 15:evalf(sum(a(k),k=1..1000000));

NiMkIitzRUZSOSEiKQ==

Dennoch divergiert diese Reihe:sum(a(k),k=1..infinity);

NiNJKWluZmluaXR5R0kqcHJvdGVjdGVkR0Yk

Konvergenzkriterien

Das Quotientenkriterium hilft bei der Untersuchung auf Konvergenz weiter:a:=n->2^n/n^5;

NiM+SSJhRzYiZio2I0kibkdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiYpIiIjOSQiIiJGLyEiJkYlRiVGJQ==

quot:=simplify(abs(a(n+1)/a(n)));

NiM+SSVxdW90RzYiLCQtSSRhYnNHSSpwcm90ZWN0ZWRHRik2IyomLCZJIm5HRiUiIiJGLkYuISImRi0iIiYiIiM=

grenzwert:=limit(quot,n=infinity);

NiM+SSpncmVuendlcnRHNiIiIiM=

Potenz- und Taylorreihen

Die Summanden einer Potenzreihe werden definiert:a:=n->(2*x)^n/n;

NiM+SSJhRzYiZio2I0kibkdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiYpLCRJInhHRiUiIiM5JCIiIkYxISIiRiVGJUYl

Der Betrag des Quotienten aufeinanderfolgender Summanden wird berechnet und evtl vereinfacht:abs(a(n+1)/a(n));

NiMtSSRhYnNHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiU2IyoqKSwkSSJ4RzYiIiIjLCZJIm5HRisiIiJGL0YvRi9GLSEiIilGKUYuRjBGLkYv

quot:=simplify(%);

NiM+SSVxdW90RzYiLCQtSSRhYnNHSSpwcm90ZWN0ZWRHRik2IyooSSJ4R0YlIiIiLCZJIm5HRiVGLUYtRi0hIiJGL0YtIiIj

Der Grenzwert f\374r n gegen Unendlich wird berechnen:grenzwert:=limit(quot,n=infinity);

NiM+SSpncmVuendlcnRHNiIsJC1JJGFic0dJKnByb3RlY3RlZEdGKTYjSSJ4R0YlIiIj

Der berechnete Grenzwert muss kleiner 1 sein:solve(grenzwert<1,x);

NiMtSSpSZWFsUmFuZ2VHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkLUklT3BlbkdGKDYjIyEiIiIiIy1GKzYjIyIiIkYv

Zun\344chst Taylor-Entwicklung der Funktion sin(x):f:=x->sin(x);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLUkkc2luRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRi9JKF9zeXNsaWJHRiU2IzkkRiVGJUYl

taylor(f(x),x=0,10);

NiMrL0kieEc2IiIiIkYmIyEiIiIiJyIiJCNGJiIkPyIiIiYjRigiJVNdIiIoI0YmIichKUdPIiIqLUkiT0dJKnByb3RlY3RlZEdGNjYjRiYiIzU=

Der Konvergenzradius wird mit dem Quotientenkriterium untersucht:a:=k->x^(2*k+1)/(2*k+1)!;

NiM+SSJhRzYiZio2I0kia0dGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiYpSSJ4R0YlLCY5JCIiIyIiIkYyRjItSSpmYWN0b3JpYWxHSSpwcm90ZWN0ZWRHRjU2I0YvISIiRiVGJUYl

quot:=simplify(abs(a(n)/a(n-1)));

NiM+SSVxdW90RzYiLCQtSSRhYnNHSSpwcm90ZWN0ZWRHRik2IyooSSJ4R0YlIiIjSSJuR0YlISIiLCZGLkYtIiIiRjFGLyNGMUYt

grenzwert:=limit(quot,n=infinity);

NiM+SSpncmVuendlcnRHNiIiIiE=